Nếu f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} là một ánh xạ liên tục, x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} và y 0 ∈ Y {\displaystyle y_{0}\in Y} với f ( x 0 ) = y 0 , {\displaystyle f(x_{0})=y_{0},} thì mọi vòng trong X với điểm cơ sở x 0 {\displaystyle x_{0}} có thể được hợp với f để tạo thành một vòng trong Y với điểm cơ sở y 0 . {\displaystyle y_{0}.} Phép toán này tương thích với quan hệ tương đương đồng luân và phép lấy tích của hai vòng. Ta thu được một đồng cấu nhóm:[1]

f ∗ : π 1 ( X , x 0 ) → π 1 ( Y , y 0 ) . {\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}

Do đó ta có một hàm tử

π 1 : T o p ∗ → G r p ( X , x 0 ) ↦ π 1 ( X , x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}

từ phạm trù các không gian tô pô vào phạm trù các nhóm. Hàm tử này không phân biệt được các ánh xạ tương đương đồng luân: nếu f, g: X → Y là các hàm liên tục với f(x0) = g(x0) = y0, và f tương đương đồng luân với g tại điểm cơ sở {x0}, thì f∗ = g∗.